Основные научные заслуги Б. В.
Гнеденко
Одна из основных научных заслуг Б. В.
Гнеденко – обоснование необходимости развития математических
методов исследования как самостоятельного научного направления,
подробное рассмотрение ряда проблем, относящихся к этому
направлению.
В XXI веке наиболее ценным для нас
является удивительное умение Б. В. Гнеденко (далее – Б. В.)
объединить в своем творчестве глубокие теоретические изыскания и
практические разработки. В настоящее время всё глубже становится
разрыв между внутриматематическими изысканиями, от которых в
обозримом будущем нельзя ждать практической пользы, и попытками
решения прикладных задач методами, устаревшими на полвека.
Уникальность Б. В. и состоит в том, что он своей личностью
устранял этот пагубный разрыв. Он был одновременно великим
теоретиком и великим прикладником. Чем больше проходит времени с
того момента, как Б. В. завершил свои труды, тем яснее
становится основополагающая роль его идей, его методологического
подхода в нашей нынешней работе.
Из теоретических исследований Б. В. больше
всего известны работы по предельным теоремам теории
вероятностей, в том числе классическая монография о суммах
независимых случайных величин 1949 г., написанная совместно с А.
Н. Колмогоровым, статьи по предельным распределениям крайних
членов вариационного ряда. Основополагающие результаты получены
им в математической статистике, например, в задаче проверки
однородности двух выборок. Для прикладников Б. В. – лидер в
области теории надежности, массового обслуживания,
статистических методов управления качеством продукции. По его
«Курсу теории вероятностей» учились многие поколения
специалистов. Большое значение имеют работы по истории науки и
по другим направлениям, среди которых особенно выделяется
методология научных исследований.
От практики – к теории, от теории –
к практике. Четыре этапа научного пути.
Научный путь Б. В. можно разбить на четыре
этапа. Первый (1930– 1934) прошел на кафедре математики
текстильного института в г. Иваново, куда он был направлен в
1930 г. после окончания Саратовского университета. Именно там Б.
В. пришел к глубокому убеждению, что полноценная творческая
жизнь математика связана с широким использованием математических
методов в решении задач практики и одновременном развитии
математических методов, без чего невозможно глубокое изучение и
удовлетворение самих потребностей практики. В ивановский период
он увлекся теорией вероятностей.
Второй этап (1934–1945) –
исследовательская работа в Москве. В 1934 г. Б. В. поступил в
аспирантуру Московского университета. Его научными
руководителями стали А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров.
Еженедельно собирался общегородской семинар по теории
вероятностей, где с новыми результатами выступали известные
ученые А. Н. Колмогоров, Е. Е. Слуцкий, Н. В. Смирнов, А. Я.
Хинчин, а также аспиранты, молодые физики, биологи и инженеры.
Б. В. увлекся предельными теоремами для сумм независимых
случайных величин. В июне 1937 г. он защитил кандидатскую
диссертацию «О некоторых результатах по теории
безгранично-делимых распределений», а в начале июня 1941 г. –
защитил докторскую диссертацию, состоящую из двух частей:
теории суммирования независимых случайных величин и теории
максимального члена вариационного ряда. В годы Великой
Отечественной войны Б. В. Гнеденко принимал активное участие в
решении многочисленных задач, связанных с обороной страны.
Третий этап научного пути Б. В. –
украинский (1945–1960). В 1945 г. Академия наук Украинской ССР
избрала Б. В. Гнеденко своим членом-корреспондентом и направила
его во Львов, где он восстанавливал Львовский университет и
организовывал учреждения Академии наук УССР. Во Львове Б. В.
Гнеденко читал разнообразные курсы: математический анализ,
вариационное исчисление, теорию аналитических функций, теорию
вероятностей, математическую статистику и др. Его научная работа
в этот период также была весьма разнообразна. Ему удалось
доказать в окончательной формулировке локальную предельную
теорему для независимых, одинаково распределенных решетчатых
слагаемых (1948 г.). Здесь начались исследования по
непараметрическим методам статистики. Но, по нашему мнению,
основное значение имела работа Б. В. Гнеденко над учебником
«Курс теории вероятностей» (первое издание – 1949 г.) и
совместной с А.Н. Колмогоровым монографией «Предельные
распределения для сумм независимых случайных величин» .
В 1950 г. Президиум АН УССР перевел Б. В.
в Киев, где в Институте математики АН УССР был организован отдел
теории вероятностей и математической статистики. Одновременно Б.
В. заведовал кафедрой математического анализа в Киевском
университете.
Естественно, что очень скоро вокруг него
образовалась группа математической молодежи, увлекшаяся теорией
вероятностей и задачами математической статистики. Первыми
киевскими учениками Б. В. были В. С. Королюк и В. С. Михалевич,
впоследствии известные ученые. Характерно для Б. В., что в Киеве
он организовал городской семинар по истории математики при
Институте математики АН УССР. Он объединил многих ученых,
работающих в области истории науки.
В 1953–1954 гг. Б. В. работал в ГДР, а по
возвращении Президиум АН УССР поручил ему возглавить работу по
организации Вычислительного центра. Ядром группы ученых были
сотрудники академика С. А. Лебедева, автора первой в Европе ЭВМ,
получившей название МЭСМ (малая электронная счетная машина).
Одновременно Б. В. возглавил работу по созданию курса
программирования для ЭВМ, который начал читать студентам
Киевского университета – будущим сотрудникам Вычислительного
центра. Этот курс – первая в СССР книга по программированию.
Начались работы по проектированию универсальной машины «Киев» и
специализированной машины для решения систем линейных
алгебраических уравнений. В этот период Президиум АН УССР
возложил на Б. В. Гнеденко обязанности директора Института
математики АН УССР и председателя бюро физико-математического
отделения.
Широкая организационная деятельность не
ослабила научной и педагогической деятельности Б. В. Гнеденко.
Именно к этому периоду относится начало разработки им двух новых
направлений прикладных научных исследований – теории массового
обслуживания и вопросов использования математических методов в
современной медицине.
Четвертый этап научного пути (1960–1995) –
снова Москва. В 1960 г. Б. В. переехал в Москву и возобновил
работу в Московском университете. Сразу же Б. В. организовал
московский семинар по математической теории надежности и теории
массового обслуживания, привлекший многочисленных участников.
Большое внимание Б. В. уделял разработке основ теории
надежности, решению задач теории резервирования с
восстановлением, оптимальной профилактики, управлению качеством
промышленной продукции в процессе производства.
В 1965 г. А. Н. Колмогоров передает Б. В.
руководство кафедрой теории вероятностей
механико-математического факультета МГУ, которой он заведовал до
своих последних дней.
Методологическими проблемами математики Б.
В. систематически интересовался с конца 1950-х годов. Он – член
научного совета при Президиуме АН СССР по философским проблемам
естествознания. С первых дней Общества по распространению
научных и политических знаний (общество «Знание») он принимает
активное участие в его работе.
Общее количество опубликованных научных
трудов Б. В. приближается к тысяче. Рассмотрим подробнее
основные направления научной деятельности Б. В. Гнеденко.
Суммирование независимых случайных
величин.
В 1930-е годы внимание Б. В. привлекли
задачи, связанные с суммированием независимых случайных величин
(с.в.). Интерес к таким задачам появился в математике еще в 17
веке. Невозможность прямых вычислений распределений сумм
независимых с.в. приводит к необходимости получения и изучения
асимптотических формул для них, то есть таких формул, которые
позволяют находить с нужной точностью требующиеся нам
вероятности, связанные с суммами с.в. Эти формулы даются
предельными теоремами теории вероятностей. Таким образом,
аппроксимация многократных сверток распределений потребовала
развития содержательной математической теории, которая
называется теорией предельных теорем для сумм независимых с.в.
или теорией суммирования.
Начало развития этой теории связано с
работами Я.Бернулли и А.Муавра начала 18 века, в которых были
доказаны закон больших чисел (ЗБЧ) и центральная предельная
теорема (ЦПТ) для независимых с.в., принимающих два значения.
Эти исследования были продолжены в 19 веке П.Лапласом,
С.Пуассоном, К.Гауссом и другими учеными, но вплоть до 1860-х
гг. рассматривались лишь с.в., принимающие два значения. Лишь в
1867 г. П. Л. Чебышев получил достаточно общую форму ЗБЧ, а
достаточно общая форма ЦПТ была найдена в работах А. М. Ляпунова
и А. А. Маркова на рубеже 19 и 20 веков. Наиболее бурное
развитие теории суммирования пришлось на 20– 40 гг. 20 в. и
связано с именами А. Н. Колмогорова, Б. В. Гнеденко, А. Я.
Хинчина, П.Леви, В. Феллера и Дж. Линдеберга.
Класс возможных предельных распределений
для сумм независимых случайных величин, как показали А. Я.
Хинчин и Г. М. Бавли, совпадает с классом безгранично-делимых
распределений. Оставалось выяснить условия существования
предельных распределений и условия сходимости к каждому
возможному предельному распределению. Заслуга постановки этих
задач и их решения принадлежит Б. В. Он в 1937 г. предложил
оригинальный метод, получивший название метода сопровождающих
безгранично-делимых законов. Единым приемом удалось получить все
ранее найденные в этой области результаты, а также и ряд новых.
В теории суммирования доказывались как
интегральные предельные теоремы, то есть теоремы о сходимости
ф.р., так и локальные теоремы, то есть теоремы о сходимости
плотностей (для гладких распределений) и о вероятностях
отдельных значений для решетчатых распределений. В 20– 40 гг. 20
в. были получены исчерпывающие результаты о ЗБЧ в классической
формулировке. Отметим, что законы больших чисел в пространствах
нечисловой природы, найденные в последней четверти 20 в.,
формулировались и доказывались исходя из совсем иных подходов –
не на основе суммирования, а на основе решений оптимизационных
задач.
Во всех разделах теории суммирования Б. В.
получил фундаментальные результаты, пролившие свет на существо
дела. Итогом развития классической теории суммирования явилась
публикация в 1949 г. монографии Б. В. Гнеденко и А. Н.
Колмогорова «Предельные распределения для сумм независимых
случайных величин», которую можно назвать монументом создателям
этой теории. Методы и результаты теории суммирования применяются
в различных разделах теории вероятностей, статистических методов
и их применений, а упомянутая книга, являясь одним из наиболее
замечательных достижений математики ХХ века, остается источником
новых идей для многих исследователей.
Предельные теоремы для крайних
порядковых и разделимых статистик
Работы по предельным теоремам для крайних
порядковых статистик публиковались в течение нескольких десятков
лет, начиная с двадцатых годов 20 в. Среди авторов таких
публикаций: Додж, фон Мизес, Фреше, Фишер и Типпет, Б. де
Финетти, Гумбель. В. Б. Невзоров и другие. В этой области
наиболее полные и глубокие результаты получены именно Б. В.
Пусть x1,…, xn независимые одинаково
распределенные с функцией распределения F случайные величины;
тогда величины min(x1,…, xn) и max(x1,…, xn) называются крайними
(или экстремальными) порядковыми статистиками, а также крайними
членами вариационного ряда. Предположим, что для функции
распределения F найдутся последовательности линейных
преобразований шкалы измерения, для которых существуют
невырожденные предельные (с ростом n) функции распределения G
крайних членов преобразованной выборки Тогда согласно общей
теории функция G имеет один из трех типов. Среди них широко
используемое на практике распределение Вейбулла-Гнеденко.
Борисом Владимировичем получены необходимые и достаточные
условия, относящиеся к F, чтобы получить тот или иной тип G.
Являясь выдающимся специалистом по теории
суммирования независимых случайных величин, Б. В. решил
результаты этой теории применить к суммированию зависимых
случайных величин. Поэтому он проявил интерес к таким случайным
величинам, совместное распределение которых совпадает с условным
совместным распределением некоторых независимых случайных
величин при условии фиксации суммы последних в некоторой точке.
Отправляясь от таких величин, можно построить класс сумм
зависимых случайных величин, называемых в отечественной
литературе разделимыми статистиками. Распределения последних
известным образом выражаются через распределения сумм
соответствующих независимых случайных величин (векторов). Тем
самым, для получения предельных (с ростом числа слагаемых)
теорем для разделимых статистик надо воспользоваться
результатами суммирования независимых величин или их
многомерными аналогами — в случае векторов.
Теория массового обслуживания
Важным разделом современной теории
вероятностей, в становление и развитие которого Б. В. внес
неоценимый вклад, является теория массового обслуживания (ТМО).
Первый цикл работ в этом направлении он выполнил в Иванове. В
частности, он занимался изучением связи неровноты пряжи по
номеру и весу, выяснением эффёктивности перехода от обслуживания
одного станка к обслуживанию нескольких станков, оценкой длины
среднего перехода между станками, который выполняет ткачиха в
процессе обслуживания ткацких станков, выявлением особенностей
метода станкообходов для нормирования рабочего времени станка и
рабочего.
В опубликованной перед самой войной работе
Б. В. решает задачу определения среднего числа
зарегистрированных счетчиком Гейгера-Мюллера частиц (известно,
что в силу наличия «мертвой зоны» счетчик Гейгера-Мюллера
регистрирует не все попадающие в него частицы). В терминах ТМО
рассматриваемая модель может быть описана как однолинейная СМО с
потерями, нестационарным пуассоновским входящим потоком и
постоянным временем обслуживания. Заметим, что и к настоящему
времени СМО с нестационарным входящим потоком исследованы крайне
мало.
К задачам ТМО Б. В. возвращается в 50-е
годов, хотя, по собственному признанию, уже во время войны он не
раз размышлял над ними. И теперь до последних дней жизни это
направление, наряду с теорией суммирования и математической
теорией надежности, становится одним из основных в его научной
деятельности. Борис Владимирович обобщает формулы Эрланга на
системы с ненадежными восстанавливаемыми приборами, рассматривая
как случай с потерей требования при отказе прибора, так и случай
перехода недообслуженного требования на другой свободный прибор,
и т. д.
В 1956 г. Б. В. прочитал первый в СССР
спецкурс по ТМО. В 1958 г. цикл его лекций по теории массового
обслуживания был опубликован, а затем послужил основой для
широко известной монографии Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н.
«Введение в теорию массового обслуживания», выпущенной в 1966 г.
Эта книга и до сих пор остается одной из основополагающих при
подготовке специалистов по ТМО не только в нашей стране, но и за
рубежом..
В последующие годы Б. В. опубликовал еще
более 30 статей, относящихся к ТМО. В этих статьях, наряду с
решением отдельных задач по ТМО, он дает детальные обзоры
существующих методов исследования, формулирует новые проблемные
направления. Важнейшей задачей Б. В. считал пропаганду на всех
уровнях, начиная от школьников и кончая профессиональными
математиками, широчайшего внедрения методов ТМО в инженерную
практику.
О работах Б. В. Гнеденко в области
математической статистики, теории надежности и контроля качества
Статистические методы были в центре
научных и педагогических интересов Б. В. на протяжении всей его
творческой жизни. «Каждому специалисту нужно знать
математическую статистику» – так называется одна из его статей.
Уже в первых его публикациях, посвященных математическому
анализу проблем текстильного производства, проявился живой
интерес и умение Б. В. работать с реальными данными.
Мировую известность Б. В. как статистику
принес цикл работ, выполненный им вместе со своими учениками и
сотрудниками в конце 40-х первой половине 50-х годов. Он изучал
проблему проверки гипотезы однородности двух независимых выборок
с помощью статистики, равной максимуму разности соответствующих
эмпирических функций распределения (т. н. двухвыборочная
односторонняя статистика Н. В. Смирнова). Б. В. предложил метод
вычисления точного распределения статистики критерия для
конечных выборок равного объема, позволивший получить простое
доказательство найденных ранее Н. В. Смирновым предельных теорем
и достаточно точные асимптотические разложения. А. Н. Колмогоров
высоко оценил исследования Б. В. по непараметрической
статистике. И сейчас, через 50 лет, эти результаты Б. В.
по-прежнему актуальны для применения математических методов
исследования.
По статистике Б. В. опубликовал более 50
работ. Среди них – посвященные проблемам статистического
образования, а также приложениям статистических методов в
технических исследованиях, теории надежности и контроле
качества, экономике и социальных науках, биологии и медицине, во
многих других областях.
Б. В. всегда был среди тех ученых,
которые, с одной стороны, глубоко понимали необходимость
развития вычислительной техники как основы и предпосылки
внедрения результатов теоретических (и в том числе
математико-статистических) исследований в практику; а с другой –
предвидели широкие горизонты новых исследований, которые
представляли высокопроизводительные компьютеры. Он не только
руководил созданием Вычислительного центра АН УССР, но и был у
истоков создания Института кибернетики АН УССР. Как уже
отмечалось, Б. В. был написан первый в СССР учебник по
программированию.
Начатые Б. В. в сотрудничестве с Н. М.
Амосовым работы по машинной диагностике сердечных заболеваний во
многих своих аспектах являются примером высококлассного
прикладного статистического исследования, по своей тематике
относящегося к проблемам классификации. К сожалению, Б. В. не
дали завершить эти исследования. Являясь одним из виднейших
математиков, работавших в то время на Украине, он был вынужден
покинуть Киев и переехать в 1960 г. в Москву.
Вопросами теории надежности и проблемами
управления (а значит, и контроля) качества Б. В. начал
заниматься еще во второй половине 50-х годов. По мере знакомства
с уровнем качества продукции промышленных предприятий в нем
крепла уверенность в необходимости использования математических
методов для объективной оценки качества и прогноза надежности
изделий. К разработке математической теории надежности он
привлек своих учеников И. Н. Коваленко, В. С. Королюка, Т. П.
Марьяновича. Сам Б. В. в это время выполнил ряд прикладных
работ, связанных с анализом надежности и методикой расчета
нагрузки электрических сетей промышленных предприятий.
В Москве, будучи одним из создателей и
признанным лидером советской школы математической теории
надежности, Б. В. приобрел огромное неформальное влияние на
развитие этой теории не только на всей территории СССР, но и
далеко за ее пределами. Другой мощной школой в теории надежности
является североамериканская. Две школы отличались по тематике
исследований и во многом дополняли друг друга. Достижения этих
школ 60-80-х годов до сих пор предопределяют мировое развитие
теории надежности.
Продвижению результатов математической
теории надежности в практику Б. В. придавал не меньшее значение,
чем развитию самой математической теории. По его мнению,
важнейшими аспектами востребованности и успешного применения
практикой являются наличие в теории богатого набора
математических моделей, отражающих разнообразные явления
предметной области; наличие в предметной области специалистов,
способных понять математические модели и превратить их в
«руководящие указания» на производстве; наличие литературы
самого разного уровня, отражающей достижения теории и практику
ее применения; возможность прямого контакта между создателями
теории и специалистами предметной области для взаимной
корректировки задач теории и методов ее приложения в предметной
области.
Все перечисленные выше моменты нашли
счастливое сочетание в работе огромного незримого коллектива
ученых и практиков, имевших отношение к созданию и приложению
теории надежности и управлению качеством в СССР. Усилиями Б. В.,
его сотрудников и учеников с 1960 по 1985 гг. была разработана
весьма разветвленная математическая теория надежности и
математическая теория контроля качества. Была налажена широкая
пропаганда необходимости практического использования
теоретических результатов, в том числе по линии общества
«Знание». Организованы семинары и лекционные курсы в
Политехническом музее, в МГУ им. М. В. Ломоносова, а затем и во
многих городах СССР, где инженерный состав получал необходимую
математическую подготовку для понимания и применения методов
теории надежности и контроля качества. В кабинете надежности при
Политехническом музее все заинтересованные лица могли получить
консультации у ведущих специалистов, включая и самого Б. В.
Издательства «Советское радио» и «Знание» выпустили серию книг,
посвященных различным аспектам теории надежности и контроля
качества. Огромное влияние оказала основополагающая монография
Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляева Ю. К. и А.Д. Соловьева
«Математические методы в теории надежности» (1965).
Была развернута большая работа по
подготовке специалистов высшей категории в области теории
надежности. В руководстве ряда отраслей промышленности оказались
специалисты, хорошо понимающие необходимость внедрения
современных методов теории надежности и контроля качества. И во
всем этом самое непосредственное участие принимал Б. В. В
результате, достижения математической теории надежности и
контроля качества нашли широкое признание, как в научных кругах,
так и среди прикладников. Правда, с сожалением приходится
констатировать, что в целом на реальный подъем качества
продукции в стране, за исключением предприятий
военно-промышленного комплекса, эти достижения сказались мало.
Конечно, нельзя не отметить и огромный
личный вклад Б. В. в математическую теорию надежности. Предметом
его наибольшего интереса была теория резервированных систем с
восстановлением. Здесь им была поставлена задача, которая имела
многочисленные продолжения в работах других математиков, а
именно — задача об асимптотическом распределении момента первого
отказа резервной группы с быстрым восстановлением. Б. В. удалось
установить связь с асимптотической теорией суммирования
случайного числа случайных слагаемых. И эта задача была им с
блеском решена. Отметим, что подобные суммы используются не
только в теории надежности, но и в различных иных прикладных
областях, в частности, в логистике, то есть науке о движении
материальных, финансовых и информационных потоков (см.,
например, [22]).
И как здесь не вспомнить слова Б. В. о
взаимообогащении фундаментальных и прикладных наук: «Я глубоко
убежден в том, что прикладные проблемы не только дают
возможность демонстрации силы математических методов и решения
множества задач, необходимых для жизненной практики, но имеют
огромное значение для развития самой математики. Дело в том, что
в прикладных задачах часто приходится сталкиваться с совсем
новыми ситуациями, о которых математик-теоретик не может
догадаться. Традиционные методы математики недостаточны для
решения возникающих вопросов, требуется разработка новых методов
исследования и, возможно, даже новых ветвей математики. Но
практика важна для науки и тем, что именно практика выясняет
возможности той или иной области математики для решения
актуальных проблем других научных дисциплин и повседневных нужд
общества. И, в конечном счете, ценность исследований математика
будет определяться по тому, насколько широко и глубоко
развиваемые им теории позволяют проникнуть в проблемы познания
законов окружающего мира, помогают решению житейских проблем,
касающихся всего общества. Чем теснее связана та или иная ветвь
математики с практикой жизни, тем разнообразнее ее проблемы, тем
быстрее она развивается. Так было, так есть и так будет».
История математики и преподавание
Вскоре после создания Академии
педагогических наук РСФСР (основана в 1943 г.) Б. В. был
приглашен в Институт методов обучения.
Несомненной заслугой Б. В. является то,
что он показал, что история математики необходима действующему
математику. На протяжении пятидесяти лет Б.В. написал более 180
работ по истории математики. Среди них – более 32
биографических статей, посвященных Н. И. Лобачевскому, П. Л.
Чебышеву, М. В. Остроградскому, А. Н. Колмогорову и др. В
фундаментальной работе «Очерк по истории теории вероятностей» он
прослеживает предысторию теории вероятностей, анализируя труды
ученых, стоящих у истоков этой науки: Л. Пачолли, Дж. Кардано,
Н. Тартальи, Г. Галилея, Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. Он
мастерски сумел показать в элементарных рассуждениях
предшественников зерна более широких идей.
Наиболее известной книгой Б,В. –
учебником «Курс теории вероятностей» – пользуются студенты
университетов уже свыше полувека. Он выдержал несколько десятков
изданий в СССР, США, ГДР, Японии и многих других странах.
Совместно с А. Я. Хинчиным Б. В. написал научно-популярную книгу
«Элементарное введение в теорию вероятностей», которая вот уже
более поувека пользуется огромной популярностью и выдержала
множество изданий в СССР и за рубежом.
Б. В. уделял большое внимание вопросам
преподавания. Он руководил семинарами но программированному
обучению, по вопросам преподавания в средней школе, был
председателем секции теории вероятностей и математической
статистики и секции средней школы Московского математического
общества. Большое число статей было им опубликовано в журналах
«Вестник высшей школы», «Математика в школе», в сборниках
научно-методического совета Минвуза СССР. Лекции Б. В.
пользовались большим успехом в любой аудитории.
Своей личностью, своей собственной
научной, педагогической и организационной работой Б. В. Гнеденко
показывал пример плодотворного единения теории и практики.
// по материалам сайта
http://ru.wikipedia.org/wiki
© Gnedenko Forum, 2006-2022
Борис Владимирович